युद्धस्य कथा रम्या : जर्मन टॅंक प्रॉब्लेम

बुद्धिबळाची स्पर्धा कधी पाहिली आहे तुम्ही? हे जे प्रथितयश खेळाडू असतात त्यांची काय खासियत असते? कशा प्रकारे तयारी करतात एखाद्या गेमची? समजा ‘अ’ या स्पर्धकाला ‘ब’ ला हरवायचे असेल तर त्याने गेम ची तयारी कशी करायला हवी? नुसते बुद्धिबळच नाही, दुसरं काहीतरी उदाहरण घेऊ – मुष्टीयुद्ध असो, क्रिकेट असो, किंवा फुटबॉल असो वा टेनिस असो, (खरंतर सगळ्याच स्पर्धांमध्ये) जिंकण्यासाठी काय आवश्यक आहे बरं? स्वतःचा खेळ उंचावायचा असेल तर स्वतःची ताकद वाढवणे, खेळासंबंधी कौशल्य आत्मसात करणे हे अत्यंत महत्त्वाचे आहे. पण फक्त स्वतःचे कौशल्य वाढवणे पुरेसे आहे का? या सगळ्यांमध्ये कौशल्याला चातुर्याची जोड हवी! म्हणजे नक्की काय? तर आपल्या क्षमतेचा नीट अंदाज तर हवाच, पण त्याचबरोबर शत्रू पक्षाच्या कौशल्याचा, ताकदीचा आडाखाही बांधता येणं आवश्यक आहे. हा आडाखा जितका अचूक तितके ‘अ’ चे ‘ब’ विरुद्ध जिंकण्याचे डावपेच यशस्वी होण्याची शक्यता अधिक. कुठलीही रणनीती आखताना शत्रूपक्षाच्या क्षमतेचा अंदाज हा महत्त्वाचा घटक ठरतोच. शिवाजी महाराजांना मूठभर मावळ्यांना हाताशी धरून मुघलांना वेळोवेळी शह देता आला याचे महत्त्वाचे कारण त्यांचं शत्रूला आजमावण्याचे कौशल्यच, नाही का?

दुसऱ्या जागतिक महायुद्धाच्या दरम्यान मित्रराष्ट्रांच्या फळीला जर्मनीच्या युद्धक्षमतेचा अचूक अंदाज बांधायला संख्याशास्त्राचा उपयोग झाला, त्याचीच ही गोष्ट. पहिल्या आणि दुसऱ्या जागतिक महायुद्धांमध्ये लढाऊ वाहनांमध्ये रणगाड्यांची महत्त्वाची भूमिका होती. पहिल्या महायुद्धाच्या तुलनेत दुसऱ्या महायुद्धाच्या वेळी तांत्रिकदृष्ट्या रणगाडे अधिक प्रगत झाले होते. विशिष्ट, विविध कामांसाठी वेगवेगळे लढाऊ रणगाडे विकसित झाले होते. मित्रराष्ट्रांना त्यांच्याकडच्या रणगाड्यांच्या तांत्रिक बाजूविषयी खात्री होती, परंतु नवीन पद्धतीने विकसित केलेल्या जर्मन पॅंथर (Panther or Panzer V or mark V) रणगाड्यांच्या विषयी मात्र त्यांना अंदाज घेणं जरूरी होतं. त्यांना अशी कुणकुण लागली होती की जर्मनांच्या बाजूने विशिष्ट प्रकारच्या पॅंथर रणगाड्याचा खूप जास्त वापर होतो आहे. एकूण किती पॅंथर रणगाड्यांचं जर्मनाच्या बाजूला उत्पादन होत असावं याची संदिग्धता मित्रराष्ट्रांना होती. आता, याचा अंदाज कसा बरं बांधायचा? गुप्तहेर संघटनांकडून मिळालेली माहिती, गुप्त संदेश डीकोड, आणि ताब्यात घेतलेल्या शत्रूपक्षाच्या सैनिकांची कसून चौकशी, या सगळ्यातून मिळालेल्या माहितीप्रमाणे पॅंथर रणगाड्यांच्या उत्पादनाचा अंदाज निघाला, की जून १९४२ ते सप्टेंबर १९४४ या कालावधीमध्ये दरमहा १४०० या विशिष्ट रणगाड्यांची निर्मिती झाली असावी. आता, हा आकडा बराच जास्त वाटत होता. हा आकडा जर खरा असेल, तर जर्मनांचं सामर्थ्य खूप जास्त असून Operation Neptune वर त्याचा गंभीर परिणाम होऊ शकला असता. मग यातली सत्यासत्यता पडताळून पाहणार तरी कशी? शत्रुपक्षाकडे एकूण किती रणगाडे असू शकतील हे जाणून घ्यायला काहीतरी दुसरा मार्ग शोधायला हवाच होता.

(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/Bundesarchiv_Bild_183-H26258%2C_Panzer_V_%22Panther%22.jpg)

मित्रराष्ट्रांच्या सुदैवाने त्यांना युद्ध चालू असताना जर्मनीच्या या काही रणगाड्यांना ताब्यात घ्यायला आणि काही उध्वस्त करायला यश आलं होतं. त्यांच्या असं लक्षात आलं, की त्या प्रत्येक रणगाड्यावर एक विशिष्ट प्रकारचा अनुक्रमांक (सिरियल नंबर) आहे. एव्हढेच नव्हे, तर प्रत्येक रणगाड्याला असलेला गीयर बॉक्स, इंजिन, chassis यांना प्रत्येकी विशिष्ट क्रमांक आहे. प्रत्येक चाकालाही त्याच्या त्याच्या साच्यानुसार विशिष्ट अनुक्रमांक आहे. यापैकी इंजिन नंबर आणि chassis नंबर जरा क्लिष्ट असले, तरी गीयरबॉक्स वरचा अनुक्रमांक हा अतिशय उपयोगी पडला. तसेच चाकाच्या माहितीचा उपयोग फेरपडताळणीसाठी केला गेला. ते कसं आजमावता येऊ शकेल यासाठी एक प्रयोगादाखल उदाहरण घेऊयात.



असं मानू की १,२,३,.. N हे त्या सगळ्या रणगाड्यांचे क्रमांक दर्शवतात. आपले उद्दिष्ट हा ‘N’ जास्तीत जास्त किती असेल याचा अंदाज बांधण्यात आहे. समजा, यातले ४ रणगाडे ताब्यात घेण्यात यश आले, आणि त्यांचे अनुक्रमांक १७, ३२, ५६, ८१ असे आहेत. या sample size ला ‘k’ मानू. म्हणजेच इथे k = ४. Sample मधल्या सगळ्यात मोठ्या अनुक्रमांकाला ‘m’ नाव देऊ. इथे m = ८१. हे लक्षात घ्यायला हवं, की ८१ क्रमांक नमुन्यात समाविष्ट असल्याने N हा ८१ पेक्षा लहान असू शकत नाही. (इथे एक महत्त्वाचे गृहीतक गरजेचे ठरते की या नमुन्यामध्ये (sample) समाविष्ट होणारे क्रमांक १ ते N या श्रेणीत uniformly distributed (समसमान वितरित) असायला हवेत. असं नसेल तर काय होईल, तर नमुन्यात समाविष्ट संख्या एक विशिष्ट ठिकाणी clustered असतील, ज्यामुळे संभाव्य कमाल संख्येचा शोध बिकट होईल). इथे आपली समस्या sample maximum (इथे ८१) आणि population maximum (N) यांच्यातले अंतर अचूकरित्या मोजणे ही ठरते.

या माहितीचा एकंदरीत विचार करता सांख्यिकी पद्धतीने ‘N’ चा आकडा खालील सूत्राने काढता येतो.

N = (m-१)(k+१)/k = m + (m/k) – १ ......................... (टीप १ पहा)

N = ८१ + (८१/४) – १ = १००.२५

वरच्या उदाहरणाचा विचार करता साधारण १०० रणगाड्यांचे उत्पादन झाले असं अंदाज बांधता येतो.

आता तुम्ही म्हणाल हा अंदाज तरी बरोबर कशावरून? तर या सूत्राची उपयोगिता पाहण्यासाठी दुसरा एक प्रयोग करू शकतो. आपण एक कमाल आकडा निश्चित करू. समजा एकूण संख्या (N) ही २५० आहे. समजा त्यातले पाच क्रमांक (without replacement) नमुन्यादाखल घेतले. १०, ४३, ११५, १२३, २२७. म्हणजे N = २५० m= २२७ k= ५

N(estimated) = २२७ + (२२७/५) - १ = २७१.४

फक्त ५ नमूना संख्यांच्या आधारावर हा आडाखा २५० च्या बऱ्यापैकी जवळ जाणारा आहे. (टीप २ पहा)


तर... वरील सूत्र वापरुन मित्रराष्ट्रांचा आडाखा असा होता की साधारणपणे दरमहा सरासरी कमाल २४६ रणगाड्यांची निर्मिती होत असावी. युद्ध संपल्यानंतर जेव्हा विविध दस्तावेज अभ्यासण्यात आले तेव्हा समोर आलेला उत्पादनाचा आकडा दरमहा सरासरी २४५ होता!

उदाहरणादाखल काही विशिष्ट महिन्यांच्या उत्पादनाची माहिती खालीलप्रमाणे:

Month	Statistical estimate	Intelligence estimate	German records
June 1940	169	1,000	122
June 1941	244	1,550	271
August 1942	327	1,550	342

मित्रराष्ट्रांनी शत्रूची ताकद आजमावायला हातातल्या माहितीचा संख्याशास्त्राच्या मदतीने चातुर्याने उपयोग करून घेतला. गुप्तहेर यंत्रणा आदी पारंपरिक पद्धतीपेक्षा सांख्यिकी अनुमान या बाबतीत वरचढ ठरले. रणगाड्यांच्या उत्पादनाचे अनुमान लावण्याची ही समस्या सांख्यिकी जगतात ‘जर्मन टॅंक प्रॉब्लेम’ या नावाने प्रसिद्ध आहे. या अनुमान पद्धतीचा उपयोग केवळ रणगाड्यांच्या उत्पादनापुरताच सीमित राहिला नाही, तर जर्मनांचे इतर क्षेत्रातले बळ, त्यांच्याकडच्या विविध कारखान्यांची संख्या, सप्लाय चेन आणि इतर अनेक उत्पादनांमधले बदल टिपायला मित्रराष्ट्रांनी करून घेतला! ‘युद्ध’ म्हटल्यावर आपल्या डोळ्यासमोर रणांगणावर लढणारे सैनिक, बंदुका, तोफा, विमाने, बॉम्ब हेच डोळ्यासमोर येतात, परंतु हे वरचे उदाहरण पाहता युद्धात या सर्वांच्या जोडीला कूटनीती यशस्वी होण्याकरिता संख्याशास्त्राने महत्त्वाची भूमिका बजावलेली दिसते. 

टीप १ :सूत्र १ हे संख्याशास्त्रातल्या निकषानुसार Minimum Variance Unbiased Estimator (MVUE) हा गुणधर्म दाखवते. हे काय असतं, तर आता समजा ‘N’ ही संख्या शोधण्यासाठी सूत्र १ बरोबर आणखी काही सूत्रांची तुलना केली, तर सूत्र १ हे ‘N’ चा ही संख्या शोधण्यासाठी सूत्र १ बरोबर आणखी काही सूत्रांची तुलना केली, तर सूत्र १ हे ‘N’ त्यातल्या त्यात अचूक अंदाज सुचवते.

टीप २ : इथे हे लक्षात घेणं जरूरी आहे, की आपल्या मनात आधीच कमाल २५० हा आकडा असल्यामुळे त्याच्या तुलनेत २७१ हा अंदाज जास्त वाटू शकतो. परंतु २५० माहीत नसणे हे नीट लक्षात घेतलं तर हा अंदाज फारसा विपरीत नाही. जर मूळ N हा प्रचंड मोठा आकडा असेल तर m निश्चित बदलेलच, परंतु इथेही मग sample साइजमध्ये एखाद्या जास्तीच्या संख्येने निष्कर्षाच्या गुणवत्तेत जास्त चांगला फरक पडू शकतो.

संदर्भ:
https://en.wikipedia.org/wiki/German_tank_problem 

https://en.wikipedia.org/wiki/Panther_tank

https://www.albert.io/blog/german-tank-problem-explained-ap-statistics-review/
https://www.theguardian.com/world/2006/jul/20/secondworldwar.tvandradio

चहाबाजांचे भांडण आणि संख्याशास्त्राचा लाभ

असं म्हणतात, की जगामध्ये सर्वाधिक प्यायल्या जाणाऱ्या पेयांमध्ये चहाचा नंबर पाण्याच्या खालोखाल लागतो. चहाचे प्रकार आणि करण्याची पद्धत यामध्ये जगभरात प्रचंड विविधता आहे. आपल्यापैकीही बऱ्याच जणांना आपण करतो तीच पद्धत योग्य असे वाटते, आणि त्याच प्रकारचा चहा सहसा आपण पिण्यास प्राधान्यही देतो. दूध घालून केलेल्या चहामध्येही चहा, पाणी, दूध आणि साखरेचे प्रमाण, यांचे गुणोत्तर प्रत्येकाच्या आवडीप्रमाणे वेगवेगळे असू शकते, नव्हे, असतेच म्हणायला हवं खरं तर. मात्र याच चहामुळे, किंबहुना चहा बनवण्याच्या विशिष्ट पद्धतीमुळे घडलेला एक किस्सा संख्याशास्त्राच्या ‘Design of Experiments’ या शाखेमध्ये अत्यंत मूलभूत असे बदल घडण्याची नांदी ठरला असे म्हणण्यास वावगे ठरणार नाही.

ही सुमारे १९२० च्या दशकातली गोष्ट. झालं असं, की एकदा सर रोनाल्ड फिशर, ज्यांना आधुनिक संख्याशास्त्राचा प्रणेता मानलं जातं, त्यांची डॉ. म्युरीएल ब्रिस्टॉल नावाच्या एका जीवशास्त्रज्ञाबरोबर कुठल्यातरी कामासंदर्भात चर्चा सुरू होती. ही चर्चा साधारण दुपारी चहाच्या वेळेला चालली होती. साहजिकच तेव्हा सर रोनाल्ड फिशर यांनी डॉ. ब्रिस्टॉलना मोठ्या अदबीने चहा देऊ केला. मात्र तेव्हा एक गंमत झाली. फिशर यांनी चहाच्या कपात प्रथम दूध ओतलं आणि नंतर चहा ओतला. ब्रिस्टॉल कसल्या खट! त्यांनी तो चहा प्यायचा चक्क नाकारला. फिशरना थोडा धक्काच बसला, त्यांनी विचारलं, काय झालं म्हणून. तेव्हा ब्रिस्टॉलनी उत्तर दिलं, की त्यांना कायम प्रथम कपामध्ये चहा आणि नंतर त्यात दूध घालून पिण्याची सवय आहे, आणि त्यांना अगदी तसाच चहा लागतो. झालं! फिशरना आला राग.

खरं तर चहा आधी की दूध आधी (कोंबडी आधी की अंड आधी च्या चालीवर वाटतं नाही?) हा वाद त्यावेळी ब्रिटनमध्ये तसा अगदी जुना होता, अगदी तिथे चहाचं आगमन जेव्हा १७व्या शतकात झालं अगदी तेव्हापासून! चहा करावा कसा हा मुद्दा खरं तर आजतागायत तसाच विवादास्पद आहे, अगदी त्यावरूनच तुंबळ युद्ध भडकण्याची शक्यताच म्हणा ना हवं तर. असो.

तर फिशर पडले विज्ञानवादी. त्यांचं असं मत पडलं, की हा मुद्दा अगदीच निरर्थक आहे; अ मध्ये ब मिसळलं काय किंवा ब मध्ये अ काय, शेवटी जो परिणाम उत्पन्न होणार तो (thermodynamically) सारखाच असणार ना! (बहुधा त्यावेळी याचं रसायनशास्त्र-दृष्ट्या फार संशोधन झालं नसावं; सध्या मात्र याबद्दल काहीशी माहिती उपलब्ध आहे). त्यांच्या मते चहामधलं दुधाचं प्रमाण आणि तापमान शेवटी सारखंच राहणार. त्यांनी तोच मुद्दा पकडून ठेवला, ते म्हणाले चहा आणि दुधाच्या क्रमाने काहीही फरक पडणार नाही.  

ब्रिस्टॉल मात्र आपल्या मुद्द्यावर ठाम होत्या. त्या म्हणाल्या, ‘चवीत फरक पडतो, वाटलं तर मी सिद्ध करायला तयार आहे. मला वेगळ्या पद्धतीने बनवलेला चहा निश्चितच ओळखू येईल चवीतल्या फरकामुळे.’ फिशरचा तरीही त्यांच्यावर विश्वास बसत नव्हता. त्यांना ही गोष्ट अशक्यच वाटत होती. आता या वादाला काही अंत राहिला नसता, कारण दोघेही हटवादी! कोणीच मुद्दा सोडायला तयार नव्हतं. तेव्हा त्यांच्या या भांडणामध्ये विल्यम रोच नावाचे रसायनशास्त्रज्ञ धावून आले. ते म्हणाले, आपण असं करुयात, आपण ब्रिस्टॉलची परीक्षाच घेऊ. दोन्ही पद्धतीनी चहा बनवून ब्रिस्टॉलना प्यायला लावू  आणि बघूयात त्यांना ओळखता येतोय का ते! फिशर आणि ब्रिस्टॉल दोघांनाही ही कल्पना पसंत पडली.

त्याकाळी मुळातच फिशर कृषीविषयक डेटा विश्लेषक म्हणून कार्यरत होते. यासंदर्भात त्यांनी विविघ पिकांचं उत्पन्न, त्या उत्पन्नातील तुलनात्मक फरक (variation) याविषयी सखोल अभ्यास करून विविध शोधनिबंध प्रसिद्ध केले होते. Design of Experiments (किंवा प्रयोग-आखणीचं शास्त्र) याचा फिशरचा नुसता अभ्यासच नव्हता, तर त्यामध्ये त्यांनी नवीन संख्याशास्त्रीय कसोट्यांची (ANOVA) बहुमोल भरही घातली होती.

ब्रिस्टॉलच्या दाव्याची अचूक शहानिशा करण्यासाठी त्यांनी त्याच धर्तीवर प्रयोगाची आखणी केली. Replication, randomisation, blinding ही Design of Experiments मधली काही प्रमुख तत्वे. फिशरनी काय केलं, की दोन्ही प्रकारचा चहा – आधी चहा मग दूध असे चार आणि आधी दूध मग चहा असे चार – असे एकूण आठ कप तयार केले आणि ते अनिश्चित अनुक्रमाने (randomly) ब्रिस्टॉलना चाखू दिले. आश्चर्याची गोष्ट अशी की दोन्ही चहातला फरक ब्रिस्टॉलनी आठही वेळा अचूक ओळखला. झाल्या प्रकारामुळे फिशर फारच बुचकळ्यात पडले. त्यांचे आडाखे चुकले होते. ब्रिस्टॉलचा विजय हा फिशर साठी जरा अपमानास्पद होताच, पण या प्रकाराने त्यांना सखोल विचार करायला भाग पाडलं. प्रथम त्यांना वाटलं, की केवळ सुदैवाने (by luck) तर ब्रिस्टॉल यशस्वी झाल्या नसतील काय? फक्त योगायोगाने आठही वेळा अचूक ओळखण्याची शक्यता काय? त्यांनी असं घडण्याची शक्यता पडताळण्यासाठी चक्क एक गणित मांडलं.

समजा असं गृहीत धरूयात, की चहा पिणाऱ्याला (इथे ब्रिस्टॉलना) चवीतला फरक कळत नाही. आता आठापैकी चार कप हे विशिष्ट पद्धतीचे होते – आधी चहा आणि मग दूध. हे चारही कप अचूक ओळखणे म्हणजेच उर्वरित आधी दूध व नंतर चहा घालून तयार केलेले चार ओळखण्यासारखेच आहे. चारपैकी जितके जास्त कप ओळखता येतील तितका वरील गृहितकाला छेद देणारा पुरावा सबळ होत जाईल.  आता प्रथम हे ओळखता येण्याचे शक्य तितके सगळे combinations विचारात घ्यायला हवे. वरील गृहीतक योग्य आहे असे मानल्यास हे किती पद्धतीने शक्य आहे? चारपैकी एकही बरोबर न ओळखणे, एकदाच बरोबर ओळखणे, २,३ किंवा चारही अचूक ओळखणे असे प्रकार लक्षात घेतले तर Combination च्या सूत्रानुसार ही संख्या ८!/(४!*४!) = ७० इतकी येते. (इथे ! हे factorial संदर्भात वाचवे). हे समजून घेण्यासाठी खाली दिलेली मांडणी उपयुक्त ठरेल.

बरोबर ओळखलेल्या कपांची संख्या	विविध प्रकारची मांडणी	एकूण मांडणी संख्या
०	0000	१ x १ =१
१	000X 00X0 0X00 X000	४ x ४=१६
२	00XX 0X0X 0XX0 X0X0 XX00 X00X	६ x ६=३६
३	0XXX XX0X X0XX 0XXX	४ x ४=१६
४	XXXX	१ x १ =१
	एकूण	७०

सर्वात महत्त्वाचं म्हणजे वरील गृहीतक बरोबर असल्यास चारही कप केवळ आणि केवळ योगायोगाने (by chance) बरोबर ओळखण्याची शक्यता १/७० (६.२५%) इतकी कमी आहे! म्हणजे ब्रिस्टॉलना दोन्ही प्रकारच्या चहाच्या चवीत फरक करता येत असावा तर.

फिशर या प्रयोगाचा विचार करताना इथेच थांबले नाहीत. त्यांनी यांचा अधिकाधिक खोलात जाऊन विचार केला. इथे हे लक्षात घ्यायला हवं की वर मांडलेले गृहीतक खोडून काढण्यासाठी काहीतरी सुस्पष्ट सांख्यिकी निकष लावणे गरजेचे आहे. त्यांच्या असं लक्षात आलं की कप ओळखताना समजा एखादी चूक झाली तर? मग अशा किती चुका केल्या तरी या प्रयोगातून मूळ गृहितकाचे खंडन करण्यासाठी पुरेसा खात्रीलायक निष्कर्ष काढत येऊ शकेल? ‘ब्रिस्टॉलना चवीतला फरक कळत नाही’ हे गृहीतक खोडण्यासाठी ‘ब्रिस्टॉलनी चारही कप बरोबर ओळखणे गरजेचे आहे’ की ‘ब्रिस्टॉलनी चारपैकी किमान तीन कप बरोबर ओळखणे पुरेसे आहे’ या दोन पैकी कोणती कसोटी किमान गरजेची आहे? वरच्या मांडणीचा विचार केला, तर चवीतला फरक कळत नसताना चार पैकी चारही बरोबर ओळखणे यांची शक्यता १/७० (६.२५%) आहे. समजा चारपैकी एकच कप ओळखायचा चुकला तर ही शक्यता १/७० वरुन १६/७० इतकी येते. म्हणजे किमान तीन कप ओळखण्याची शक्यता (१६+१)/७०, जवळपास २४%. याचा अर्थ, चवीतला फरक कळत नसतानाही किमान तीन कप बरोबर ओळखण्याची शक्यता बरीच जास्त (२४%) आहे. आता, ही शक्यता जितकी कमी तितका फरक न कळण्याच्या गृहितकाविरुद्ध जाणार पुरावा अधिक सबळ. या केसमध्ये, २४% शक्यता ही खूप मोठी असल्याने ‘फरक कळत नाही’ यांचे खंडन करण्यासाठी हा पुरावा कमी खात्रीशीर ठरतो. म्हणजे एक विशिष्ट प्रकारचे ४ कप असल्यास, चारही अचूक ओळखणे सिद्धतेच्या दृष्टीने जास्त आवश्यक आहे. 

त्यांनी मग थोडा आणखी विचार केला. समजा आठ कप (चार अधिक चार) ऐवजी बारा कप (सहा अधिक सहा) घेतले असते तर? तर ही कसोटी आधीपेक्षा जास्त कठीण आणि म्हणूनच अधिक काटेकोर झाली असती. चवीतला फरक कळत नसताना सहाही कप अचूक ओळखण्याची शक्यता १/९२४ इतकी कमी आहे. सहापैकी किमान पाच बरोबर ओळखण्याची शक्यता ३७/९२४ (४%). (याची ताळेबंद मांडणीही वरच्या मांडणीच्या अनुषंगाने करता येईल). या परिस्थितीमध्ये एक आडाखा चुकला तरीही ही चूक तितकीशी हानिकारक नाही. याचा अर्थ, जितका sample size जास्त, तितकी ही कसोटी उत्तमोत्तम साबीत होऊ शकते. फिशरच्या लक्षात आले की ही कसोटी विविध क्लिष्ट प्रॉब्लेम्समध्ये समर्पक ठरू शकते. याच कसोटीला आता फिशरची अचूक चाचणी (Fisher’s Exact Test) म्हणून ओळखले जाते.

पुढील काही काळात फिशरने या प्रयोगाच्या आखणीच्या अनुषंगाने अधिकाधिक पैलूंचा बारकाईने अभ्यास केला. १९२० च्या दशकात ही जेव्हा घडली, त्याआधी वैज्ञानिक प्रयोगांची सांख्यिकीमापन दृष्टीने आखणी, डेटा विश्लेषणाच्या पद्धती, यामध्ये कमी सुस्पष्टता होती. फिशरच्या संशोधनाने या सर्व पद्धतींमध्ये मोलाची भर पडली. चहावरून सुरू झालेल्या एक छोट्याशा पैजेचे संख्याशास्त्रात इतके महत्त्वाचे योगदान असेल हे कोणाला सांगून तरी खरे वाटेल काय?