शेक्सपिअर आणि संख्याशास्त्र

साल १९८४. नोव्हेंबर महिना चालू होता. शेक्सपिअर अभ्यासक डॉक्टर गॅरी टेलर ऑक्सफर्ड विद्यापीठातल्या बडलेयन लायब्ररीच्या एका कोपऱ्यात बसून एक कवितासंग्रह चाळत होते. बडलेयन लायब्ररीला हा हस्तलिखित कवितासंग्रह होता १७७५ सालचा. आणि त्यातल्या संग्रहित कविता होत्या त्याहीपूर्वीच्या, सतराव्या शतकातल्या. हे संकलन चाळताना टेलरची नजर एका कवितेवर पडली. ही कविता होती नऊ कडव्यांची. प्रत्येकी आठ ओळी म्हणजेच ७२ ओळींची ही कविता, ज्यात मोजून ४२९ शब्द होते.

त्या कवितेच्या काही ओळी अशा...

Shall I die? Shall I fly

Lovers' baits and deceits,

sorrow breeding?

Shall I tend? Shall I send?

Shall I sue, and not rue

my proceeding?

In all duty her beauty

Binds me her servant for ever,

If she scorn, I mourn,

I retire to despair, joying never.

या संकलित संग्रहाच्या अनुक्रमणिकेमध्ये या कवितेचे श्रेयनाम होते ‘विल्यम शेक्सपिअर’! टेलर खूप रोमांचित झाले. ‘विल्यम शेक्सपिअर’ ची असूनही १९८४/८५ सालापर्यंत ही कविता कोणाच्या नजरेत भरली नव्हती. तसं पाहता शेक्सपिअरचे बहुतांशी लेखन १७ व्या शतकामध्येच सापडलेले होते. ही कविता जर खरोखरच शेक्सपिअरची असली तर त्याचा अर्थ जवळपास २-३ शतकानंतर त्याच्या नवीन लिखाणाचा शोध लागला असा असता आणि ही शेक्सपिअर अभ्यासकांसाठी अतिशय आनंदाची बाब असणार होती. या नव्या संशोधनामुळे साहित्यिक जगतात उत्साह निर्माण होईल अशी आशा त्यांच्या मनात निर्माण झाली. जवळपास आठवडाभर या कवितेचा नीट अभ्यास केल्यावर गॅरी टेलर आणि त्यांचे सहकारी स्टॅन्ली वेल्स यांची खात्री पटली की ही कविता शेक्सपिअरचीच. तसा त्यांनी उघड दावाही केला. या दाव्याने समस्त जगतात खळबळ माजवली. ही कविता समोर येताच तिला टेलरच्या अपेक्षेप्रमाणे लोकांचा उत्साहवर्धक प्रतिसाद मिळाला खरा, मात्र या त्यांच्या दाव्याला विरोध करणाऱ्यांची संख्या कमी नव्हती. विशेषतः बऱ्याच जाणकार अभ्यासकांनी याचा पाठपुरावा करत टेलरचे मुद्दे खोडून काढायला सुरुवात केली.

यादरम्यान येल विद्यापीठातल्या लायब्ररीमध्ये एका दुसऱ्या हस्तलिखितामध्ये हीच कविता असल्याची माहिती पुढे आली. मात्र, त्या संकलनात या कवितेच्या श्रेयनामावलीत कोणाचेही नाव नव्हते. जर इथेही शेक्सपिअरच्या नावे ही कविता असती, तर टेलरच्या दाव्याला सहज पुष्टी मिळाली असती. दुर्दैवाने तसे झाले नाही. याउलट बडलेयन लायब्ररीतल्या त्या संग्रहामधल्या कवींच्या माहितीवर काही अभ्यासकांनी आक्षेप नोंदवला.

अशी सगळी उलट सुलट चर्चा चालू असताना, स्टॅनफर्ड विद्यापीठातले संख्याशास्त्रज्ञ ब्रॅडली एफ्रोन आणि त्यांचा विद्यार्थी रोनाल्ड थिस्टेड यांनी याबद्दल (संख्या)शास्त्रीय पाठपुरावा करण्याचे ठरवले. याची कारणेही तशीच होती. या घटनेच्या आधी जवळपास दहा वर्षांपूर्वी, या दोघांनी शेक्सपिअरच्या विपुल शब्दभांडारासंदर्भात थोडा अभ्यास केला होता. त्यांनी असा प्रश्न विचारला, की जर एखादा नवीन साहित्याचा तुकडा समोर आला, तर समजणार कसं की ते लिखाण शेक्सपिअरचंच आहे म्हणून? (अर्थातच साहित्याच्या संदर्भामध्ये संख्याशास्त्रीय कसोट्या वापरण्याची ही काही पहिलीवाहिली घटना नव्हती. ही काही उदाहरणे आपण पुढेमागे कधीतरी पाहूच). याचे उत्तर देण्यासाठी एफ्रोन आणि थिस्टेड यांनी १९४३ साली प्रसिद्ध झालेल्या सर रोनाल्ड फिशर यांच्या एक शोधनिबंधाचा आधार घेतला. काय होता हा शोधनिबंध?

सी. बी. विल्यम्स नावाचे एक जीवशास्त्रज्ञ मलेशियामध्ये फुलपाखरांच्या विविध प्रजातींचा अभ्यास करत होते. त्यांच्या असं लक्षात आलं, की त्यांनी पकडलेल्या फुलपाखरांमध्ये काही विशिष्ट प्रजातींच्या फुलपाखरांची संख्या अधिक आहे, तर काहींची कमी. काही फुलपाखरे शेकड्याने सापडतात, काही हाताच्या बोटावर मोजण्याइतकी, तर काही विशिष्ट प्रजातीचे एखादेच. अशा परिस्थितीमध्ये, आपल्याला ‘न आढळलेल्या’ प्रजाती किती असाव्यात याबद्दल अंदाज बांधता येणं शक्य आहे का? एखाद्या विशिष्ट भागामध्ये फुलापाखरांच्या किती भिन्न प्रजाती आढळतील? काही गृहितकांच्या आधारावर काही जटिल गणिती सूत्राद्वारे या प्रश्नाचे उत्तर देण्याची पद्धत फिशर यांनी शोधून काढली, तोच हा शोधनिबंध. ही समस्या एफ्रोन आणि थिस्टेडच्या डोक्यात घोळत असलेल्या शेक्सपिअरच्या लिखाणाच्या प्रश्नाशी साधर्म्य असणारी होती. दरम्यानच्या काळात शेक्सपिअरच्या लिखाणाचे संगणकीकरण झाले होते. त्या आधारे या जोडगोळीने शेक्सपियरच्या तोपर्यंत माहीत असलेल्या समग्र साहित्यामध्ये कोणकोणते शब्द किती वेळा वापरले आहेत याचा सखोल अभ्यास केला. त्यावरून एक वारंवारीता तक्ता तयार केला. समग्र शेक्सपिअर साहित्यामधल्या एकूण ८८४,६४७ शब्दांपैकी ३१५३४ शब्द भिन्न आहेत. हा तक्ता खालीलप्रमाणे:

(‘स्टॅटिस्टिक्स अँड ट्रूथ – सी.  आर.  राव’ या पुस्तकातून साभार)

त्याचा उपयोग करून त्यांनी असे प्रश्न विचारले – की अजून असे किती शब्द असतील जे शेक्सपिअरला माहीत होते, पण त्याने वापरले नाहीत? (फुलपाखरच्या समस्येचा विचार करता हा प्रश्न समांतर आहे – उदाहरणार्थ, अशा किती फुलपाखरांच्या नवीन प्रजाती आहेत ज्या असतील पण आपल्याला आढळल्या नाहीत?) शेक्सपिअरचे एखादे नवीन साहित्य आढळून आल्यास त्यापैकी किती शब्द त्याने आतापर्यंत न वापरलेले असतील? किती शब्द आधी एकदाच वापरले असतील इत्यादी इत्यादी. फिशरच्या वर उल्लेख केलेल्या शोधनिबंधातल्या जटिल गणिती ‘मॉडेल’ला अनुसरून त्यांनी या ‘distribution’ चा अंदाज व्यक्त केला. हा शोधनिबंध १९७६ मध्ये प्रसिद्ध झाला होता.

१९८४ मध्ये जेव्हा टेलरना ही नवीन कविता सापडली, तेव्हा या द्वयीला त्यांची आधीची मांडणी वापरुन पाहायची सुवर्णसंधी उपलब्ध झाली. त्यांनी त्यांचे मॉडेल वापरुन नवीन कवितेतल्या शब्दांच्या वारंवारीतेची पडताळणी केली. इतकेच नव्हे तर नवीन सापडलेली कविता इतर समकालीन प्रसिद्ध कवींच्या जास्त जवळ जाणारी आहे का, हे बघण्यासाठी इतर कवींच्या ‘पॅटर्न’शी देखील तुलना केली. खालील मांडणी त्याचा आढावा घेते. 

(‘स्टॅटिस्टिक्स अँड ट्रूथ – सी.  आर.  राव’ या पुस्तकातून साभार)

या सगळ्या अभ्यासातून त्यांना असं दिसलं, की तुलनात्मकरीत्या या कवितेतले शब्दप्रयोग हे बाकीच्या कवींपेक्षा शेक्सपिअरशी जास्त मिळतेजुळते आहेत. सांख्यिकीच्या नियमानुसार हा निष्कर्ष शब्दात मांडायचा झाल्यास असे म्हणता येईल, की ही कविता ‘शेक्सपिअरची नाहीच असे ठामपणे म्हणता येणार नाही’.

अर्थात प्रश्न येथे संपत नाही. साहित्य अभ्यासकांनी या दाव्याला दुजोरा न देण्याची कारणमीमांसा अनेक ठिकाणी केली आहे. यामध्ये हस्तलिखित कवितासंग्रहातल्या इतर त्रुटी, या कवितेतली शब्दयोजना, यमक योजना, कवितेतली विचार मांडण्याची पद्धत इत्यादी बाबतीत सखोल चर्चा आणि चर्विचरण समाविष्ट आहेत.

शेक्सपिअर हा जागतिक पातळीवर नावाजलेला एक बडा साहित्यिक, इतक्या शतकानंतरही त्याच्या कलाविष्कारातली जादू आस्वादकांच्या दृष्टीने भुरळ पडणारी आहे यात शंकाच नाही. त्यामुळे कुठलाही नवीन दावा पुरेशा खंडन-मंडन प्रक्रियेतून तावून सुलाखून निघाल्याशिवाय मान्य होणार नाही हे साहजिकच. या चर्चेत गणित/सांख्यिकी तज्ञांनीही भाग घेतला हे विशेष!

- मेघना

अधिक वाचनासाठी:

https://en.wikisource.org/wiki/Shall_I_die%3F

https://www.researchgate.net/publication/30962620_Did_Shakespeare_Write_a_Newly-Discovered_Poem

http://www.stat.uchicago.edu/~pmcc/reports/efron.pdf

https://apnews.com/article/fd57ca22c351c9707f7d0339adbfa2e6

https://www.nytimes.com/1985/12/06/arts/critics-say-newly-found-poem-isn-t-shakespeare.html

Trial of the Pyx: एक रोचक कहाणी

 Quality control अर्थात ‘गुणवत्ता’ नियंत्रण हा आपल्या प्रत्येकाच्या दैनंदिन आयुष्याचा अविभाज्य भाग आहे. जिथे जिथे कुठचेही उत्पादन येते तिथे तिथे गुणवत्तेची परीक्षा ओघाने आलीच. आपली आई किंवा आजी चटकन थेंबभर भाजी-आमटीचा रस चाखून पाहते, तेव्हा ती एका प्रकारे स्वयंपाकघरात तयार होणाऱ्या पदार्थाची चाचणीच करत असते.

याचे जरा वेगळे विस्तारित स्वरूप म्हणजे मोठ्या प्रमाणात उत्पादित होणारा सगळा माल. आपल्या हातातला मोबाइल असो, आपल्या हातातले घडयाळ असो किंवा आपल्याला एक ठिकाणाहून दुसऱ्या ठिकाणी भुर्रकन नेणारी आपली दुचाकी अथवा चारचाकी असो किंवा आपल्या टेबल/खुर्चीला ठोकलेला एखादा छोटासा खिळा असो; इतकंच नाही तर आपल्या फ्रीजमध्ये डोकावून पहाल तर एखादा बटरचा पॅक वा सॉस - जॅमची बाटली असो. या आणि अश्या कुठल्याही मालाचे उत्पादन करताना त्या त्या क्षेत्रातले गुणवत्तेचे निकष कसोशीने पाळले जातात; नव्हे, तसे करणे बंधनकारकच आहे मुळी.

याचा आपल्या आयुष्याशी थेट संबंध कसा येतो बरं? आपण एखादी वस्तू विकत घेताना चार ठिकाणी बघून, किंमत आणि दर्जा पाहून मगच विकत घेतो. शेवटी आपल्या खिशाला चाट बसणार असेल तर वस्तू जोखून घ्यायलाच हवी, नाही का? चांगल्या दर्जाच्या वस्तूला आपण साहजिकच थोडेबहुत जास्त पैसे द्यायला खळखळ करत नाही. पण, आता मी जर असा प्रश्न विचारला की तुमच्या खिशातल्या पैशाची गुणवत्ता कशी मोजतात? थांबा, नाही नाही, मला तुम्ही काळा बाजार करता का कसे कमावता असा प्रश्न विचारायचा नाहीये; लगेच offend व्हायचं कारणच नाही.

तुमच्या खिशातलं एखादं नाणं पहा बरं काढून. कधी हा विचार केला आहे का, की हे जे पैसे (चलन या अर्थी) आपण वापरतोय ते कुठल्यातरी टांकसाळीत पाडलं गेलं असणार आहे. ही नाणी पाडताना त्याची गुणवत्ता नियंत्रित केली जात असेल का? ती कशी तपासली जात असेल बरं? (इथे मी फक्त नाण्यांचा विचार करतेय, नोटांच्याही उत्पादनात अर्थातच कितीतरी गोष्टींचा काटेकोरपणे विचार केला जात असेलच, पण सध्या आपण नाण्यांवर लक्ष केंद्रित करू.)

 

चलन निर्मिती आणि त्याचे गुणवत्ता नियंत्रण यासंदर्भात ग्रेट ब्रिटन मध्ये तेराव्या शतकापासून चालत आलेल्या एका प्राचीन रिवाजाविषयी आपण जाणून घेणार आहोत. या रिवाजाला ‘Trial of the Pyx’ ज्याला आपण ढोबळरित्या ‘पिक्सची चाचणी’ म्हणू शकतो. Pyx हा शब्द ग्रीक ‘Pyxis’ (म्हणजे लाकडी डबी – नाणी साठवण्याची) वरून आला आहे. शासकीय ब्रिटिश टांकसाळीमध्ये तयार होणारी सोन्याची आणि चांदीची नाणी सरकारी मानकाच्या निकषाला अनुसरून तयार होत आहेत की नाही हे तपासून पाहण्यासाठीची ही एक व्यवस्था गेली कित्येक शतके चालू आहे. काही अभ्यासकांच्या म्हणण्यानुसार याची सुरुवात बाराव्या शतकात झाली असल्याचे पुरावे सापडतात. याची सुरुवात बाराव्या शतकात झाली असली तरी सुरुवातीच्या काळात त्याचे स्वरूप केवळ कर आकारणीच्या संदर्भात मर्यादित होते. नाणी उत्पादनाच्या गुणवत्ता निकष पडताळणीच्या अनुषंगाने त्याची चाचणी पहिल्यांदा १२४८ मध्ये झाली असून पहिल्या एडवर्डच्या अधिपत्याखाली १२७९ पर्यन्त त्याची ठळक रूपरेषा निश्चित झाली. या सुरुवातीच्या काळापासून आता एकविसाव्या शतकापर्यंत त्यात काळानुरूप अनेकविध छोटेमोठे बदल झाले असले तरी त्याची मूलभूत मांडणी इतक्या शतकांनंतरही सारखीच आहे. जुन्या काळापासून आजही स्वतंत्र ज्युरींची नेमणूक करून त्यांच्या देखरेखीखाली काही निवडक नाण्यांची काटेकोर परीक्षा घेऊन ती नाणी निर्देशित मानकप्रतीची आहेत की नाही ही ठरवले जाते. 

या चाचणीची ढोबळ रूपरेषा काय?

तर नवीन नाणी तयार करत असताना दर काही नाण्यांमधून एक नाणे नमुन्यादाखल निवडतात, उदाहरणार्थ सोन्याच्या नाण्यांपैकी दर दहा नाण्यांमागे एक नाणे किंवा दर साठ चांदीच्या नाण्यांपैकी एक नाणे इत्यादी. ही नाणी काळजीपूर्वक त्या त्या विशिष्ट लाकडी बॉक्स (Pyx) मध्ये साठवली जातात. नाणे पडण्याची सुरुवात होण्यापूर्वी स्टँडर्ड नमुना (धातूचे पत्रे आणि वजनाची मापे) एका सुरक्षित बॉक्स मध्ये जतन करतात. याचा उपयोग चाचणीदरम्यान ‘कंट्रोल’ स्वरूपात केला जातो. सुरुवातीच्या काळी या चाचण्या अनियमित कालावधीनंतर होत असत, नंतर नंतर वर्षातून एकदा चाचणी घेण्याचा पायंडा पडला. १८५१ पूर्वी या टांकसाळी खासगी मालकीच्या असून त्यांना राजाकडून कंत्राट दिले जाई. कंत्राटाच्या करारनाम्यात विशिष्ट ‘टॉलरन्स लिमिट’ दिलेले असे, त्याला ‘रेमेडी’ असे म्हणत. ही रेमेडी म्हणजे नक्की काय? समजा एका चांदीच्या नाण्याचे वजन ५ ग्राम असणे अपेक्षित आहे. आता प्रत्येक नाणे ‘manually’ पाडले जात असल्याने त्यात काही स्वाभाविक फरक असणारच. तर आता स्वीकारार्हता ठरवण्यासाठी ते त्या ‘स्टँडर्ड’च्या किती वरखाली गेलं तर चालेल – म्हणजे उदाहरणार्थ ५ ग्रॅमच्या नाण्यासाठी ५ ± ०.००१ चालेल असे म्हटले, तर ०.००१ हे झालं ‘टॉलरन्स लिमिट’ अथवा ‘रेमेडी’. ही रेमेडी नाण्यांचे मूल्य आणि त्यातले घटक धातू यावर अवलंबून असते.

चाचणीच्या दरम्यान सगळ्या प्रक्रिया कायदेशीररित्या चालवल्या जातात. यासाठी राणीने (राजाने) नेमून दिलेला कार्यवाहक -The Queen’s Remembrancer(याचा पोशाख खूपच मजेशीर आहे) हा तेथे देखरेखीसाठी उपस्थित असतो. (एक महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे ‘ट्रायल ऑफ द पिक्स’ला मी ढोबळरित्या ‘पिक्स ची चाचणी’ असे म्हटले असले तरी तो तसा अत्यंत औपचारिक न्यायालयीन ‘खटला’ आहे. हा खटला टांकसाळीच्या मुख्य अधिकाऱ्यांवर भरला जातो.) या प्रक्रियेसाठी स्वतंत्र ज्युरींची नेमणूक केली जाते. चाचणीच्या पहिल्या टप्प्यात मुख्य न्यायाधीश ज्युरी सदस्यांना शपथ देतात. त्यानंतर प्रत्येक ज्युरी सदस्याला एक लाकडी आणि एक तांब्याची अशा दोन वाट्या दिल्या जातात. चाचणीसाठी pyx मध्ये जमा केलेली नाणी त्यांच्यामध्ये वाटली जातात. हा आकडा समजा प्रत्येकी १०० (इथे हा आकडा केवळ उदाहरण म्हणून घेतला आहे. नाण्यांचे स्वरूप, मूल्य, नाणी उत्पादनाची संख्या यानुसार तो कालानुरूप बदलतो) असेल तर, त्यापैकी १ नाणे जुरी randomly निवडतात आणि ते तांब्याच्या वाटीमध्ये ठेवतात आणि उरलेली लाकडी वाटीमध्ये. ही तांब्याच्या वाटीत जमा केलेली नाणी एकत्र करून पुढे पारख कार्यालयाकडे (Assay Office) पाठवली जातात. तिथे त्यांचे नाण्यांची जाडी, गोलाई आदी विविध निकषांवर काटेकोर व सखोल परीक्षण केले जाते. नंतर ही नाणी वितळवून त्यातल्या धातूंची शुद्धता, जर द्विधातू असतील तर त्यांचे प्रमाण इत्यादी परीक्षण केले जाते. उरलेल्या ९९ नाण्यांचे ज्युरी एकत्रित वजन करतात. ही वजन रेमेडी च्या अनुसार योग्य आहे की नाही ही पडताळले जाते. सर्व प्रक्रिया जवळपास काही महिने चालतात. त्यानंतर दुसरा टप्पा हा निकालाचा असतो. सर्व ज्युरी सदस्यांना पुन्हा एकदा एकत्र बोलावले जाते आणि खटल्याचा(चाचणीचा) निकाल जाहीर केला जातो.

या सगळ्या चाचणीच्या मूलभूत उद्देशामध्ये कालानुरूप चांगलाच फरक पडला आहे. सुरुवातीच्या काळात टांकसाळीच्या स्वतंत्र कारभारामध्ये सर्व धातू इत्यादी कच्च्या मालाचा निर्देशित नियमांना अनुसरून योग्य वापर होत आहे की नाही हे पाहणे, अफरातफर होऊ न देणे हा होता (ऑडिट सारखा). उदाहरणार्थ एखादे स्पेशल नाणे जर आवश्यकतेपेक्षा जास्त सोने वापरुन बनले असेल तर तो व्यवहार एकंदरीत तोट्याचा होईल. असे निदर्शनास आले असता ती नाणी पूर्णपणे वितळवली जात आणि त्या धातूचा पुनर्वापर केला जाई. या चाचणीमध्ये भाग घेतलेल्या ज्यूरीची जबाबदारी नाण्यांचे standard पडताळणे ही होती. जर नाण्यांच्या वजनात घट आढळली तर टांकसाळीच्या मालकाला राजाला तूट भरून द्यावी लागे. यामध्ये आधीच्या चाचणीपासून या चाचणीपर्यंत जितकी नाणी तयार केली असतील त्याच्या हिशोबाने ही तूट मोजली जाई. याचबरोबर अपेक्षेपेक्षा कमी धातू नाण्यांमध्ये आढळून आल्यामुळे, फसवणुकीच्या आरोपाखाली संबंधित अधिकाऱ्यांना कडक शिक्षाही असे. आधुनिक काळात मात्र या चाचणीचे विशेष महत्त्व लोकांचा चलनावरचा विश्वास शाबूत ठेवणे हा आहे. अत्याधुनिक यंत्रसामुग्रीच्या उपलब्धतेमुळे चलननिर्मिती आणि त्याचे गुणवत्ता नियंत्रण खूपच सुलभ झाले आहे. त्यामुळे पिक्सची चाचणी आता मुख्यतः एक पूर्वीपासून चालत आलेली प्रथा म्हणून समारंभ स्वरूपात साजरी केली जाते.

या चाचण्यांच्या जवळपास आठशे वर्षांच्या इतिहासात फक्त दोन वेळा नाण्यांचे उत्पादन हे दिलेल्या रेमेडीच्या बाहेर असल्याचे आढळून येते. नियमभंगाची शिक्षा कडक असणे हे मुख्य कारण दर्जा टिकवण्यात असले तरीही एक मुख्य गोम ज्या प्रकारे नाण्यांच्या एकत्रित वजनासाठी रेमेडी मोजण्यात येई त्या गणितात आहे! त्याबद्दल थोडे अधिक जाणून घेऊ.

रेमेडी ही काळानुसार बदलत गेली आहे. याचे निर्देश पूर्वीपासूनच प्रति-पौंड होते. अगदी सुरुवातीच्या काळात ४० grains प्रति पौंड (एक पौंडात ५७६० grains असतात) अशी रेमेडी असल्याचे दाखले आहेत. म्हणजे पौंडाचा १४४ हिस्सा वजनात वरखाली असला तरी हरकत नाही. जसजशी सुधारित तंत्र अमलात आणली गेली तसतशी या रेमेडीमध्येही बदल होत गेले. उदाहरणार्थ, एकोणिसाव्या शतकाच्या पूर्वार्धामध्ये १२ grains प्रति पौंड म्हणजेच पौंडाचा ४८० वा हिस्सा वरखाली असणे हे वैधतेचे मापन ठरवण्यात आले. हे मापन कठोर होत गेले तरी एकत्रित वजन-मापनाचे सूत्र हे बरीच शतके तेच राहिले. आता नाण्यांचे वजन एकत्रित केले जात असल्यामुळे एक पौंडाला ४० grains तर १०० पौंडाला ४०*१०० असे धरले जाई. या नियमानुसार आकडेवारीच्या सोयीसाठी उदाहरण म्हणून आपण १०० ऐवजी १००० नाण्यांचे वजन पाहिले तर असे दिसून येते की १००० पौंडामागे सुमारे ७ (६.९४४४) पौंड वजन कमी असले तरी चालेल.

हे सूत्र जरा काळजीपूर्वक पाहूया.

एक नाण्यासाठी स्टँडर्ड वजन µ असेल तर ‘टॉलरन्स लिमिट’ किंवा मार्जिन ऑफ एरर e मानू.

म्हणजे एक नाण्याचे वजन ‘x’ भरले तर ते µ ± e = (µ - e, µ + e) या रेंज मध्ये हवे. त्याचे वजन या रेंजच्या बाहेर असल्यास ते नाणे अवैध ठरेल. इथे कंसातील दोन किमती ह्या त्या रेंजच्या किमान आणि कमाल मर्यादा दर्शवतात.

आता, समजा आपण एकेक नाण्याचे वजन न करता काही (n) नाण्यांचे एकत्रित वजन पाहतोय. तर त्याचे गणित खालीलप्रमाणे मानले जाई.

n* µ ± n*e = (n* µ - n* e, n*µ + n*e)

म्हणजे १००० नाण्यांसाठी त्यांच्या वजनांची बेरीज म्हणजे ∑xi हा आकडा 1000*µ ± 1000*e या मर्यादेत हवा. यामधली मुख्य गोम अशी की आपण जेव्हा 1000*e करतो त्याचा अर्थ आपण १००० नाण्यांमधली मार्जिन ऑफ एरर पण १००० पटीने वाढेल असे मानतोय. परंतु अठराव्या शतकातील प्रसिद्ध गणिती अब्राहम डी मॉईव्र यांच्या संशोधनाचा आधार घेता (हे संशोधन साधारण १७१८ ते १७३८ या दरम्यानचे असावे) असे दिसून येते की ही एरर sample size च्या पटीत न वाढता ती sample size च्या वर्गामूळाच्या पटीत वाढायला हवी. म्हणजे अचूक सूत्र हे खालीलप्रमाणे हवे:

n* µ ±√ n  *e = (n* µ - √n * e, n*µ +√n *e)

आता आधीच्या सूत्रानुसार १००० पौंडामागे ७ पौंड वजन कमीजास्त असायला हरकत नव्हती, जे प्रत्यक्षात सुधारित सूत्रानुसार १००० पौंडामागे ०.२२ पौंड इतकेच कमीजास्त असणे जरूरी आहे! म्हणजे मुळात (९९९.७८ , १०००.२२) इतकी छोटी रेंज स्वीकारार्ह असली तरी (९९३.०५६, १००६.९४४) ही रेंज खरी मानल्यामुळे वजनाच्या फसवेगिरीला कितीतरी वाव होता.

कल्पना करा, की टांकसाळीमध्ये विविध प्रकारची नाणी तयार झाली असणार, थोडथोडकी वर्षे नव्हे तर शतकानुशतके. पण ही गणिती/सांख्यिकी चूक लक्षात यायला सहाशे वर्ष जावी लागली.

आता जर कोणी पद्धतशीरपणे थोडेबहुत बेकायदेशीर कृत्य अथवा चोरी केली असेल तर ती उघडकीस येणे कितीतरी अवघड होते हे वरच्या उदाहरणावरून स्पष्ट होते. आणि याचमुळे पूर्वी माफक सावधगिरी बाळगल्यास टांकसाळीच्या मालकांची स्थिती कायमच निखालस सुरक्षित राहिली असावी!

सर आयझॅक न्यूटन

एक महत्त्वाची गोष्ट म्हणजे ब्रिटिश रॉयल टांकसाळीचा व्यवस्थापक (Warden) (१६९६-१६९९) आणि नंतर मुख्य कार्यकारी अधिकारी (Master) म्हणून (१६९९ -१७२७) सर आयझॅक न्यूटन यांनी तब्बल तीस वर्षे पदभार सांभाळला. त्यांच्याआधी मुख्य कार्यकारी अधिकाऱ्याचा टांकसाळीच्या कामकाजातला सहभाग नाममात्र असला तरी न्यूटन यांनी मात्र टांकसाळीच्या कारभारात मनापासून रस घेतला. त्यांनी नाण्यांच्या निर्मितीदरम्यान विविध पद्धतीने होणार गैरव्यवहार रोखण्यासाठी विशेष प्रयत्न केले. वर उद्धृत केलेल्या संख्याशास्त्रीय त्रुटीबद्दल त्यांना अंदाज असण्याची शक्यता नाकारता येत नाही, कारण सरासरीच्या variation वर sample size चा होणारा परिणाम त्यांनी इतर काही समस्यांच्या विश्लेषणात विचारात घेतलेला दिसतो. आता हा प्रश्न उद्भवणे साहजिकच आहे की न्यूटन यांनी हाच विचार नाण्यांच्या चाचणीबाबत केला नसेल का? हा ही प्रश्न पडतो की त्यांना ह्याची वैयक्तिक माहिती असेल तर त्यांनी या त्रुटीचा गैरफायदा घेतला असावा का? परंतु, टांकसाळीच्या कामकाजात न्यायाच्या बाजूने ते उभे राहिल्याचे अनेक पुरावे आहेत. म्हणूनच त्यांनी त्यांच्या आयुष्यात जमवलेल्या प्रचंड संपत्तीमध्ये या संख्याशास्त्रीय बाबीचा गैरवापर केला असल्याची शक्यता नाहीच असे मानायला हवे.

अब्राहम डी मॉईव्र

वर उल्लेखलेले प्रसिद्ध गणिती अब्राहम डी मॉईव्र यांनी प्रॉबॅबिलिटी थिअरीमध्ये मोलाचे संशोधन केले आहे. संख्याशास्त्रात सुपरिचित असणारे ‘गाऊशीयन मॉडेल’, जे आपण नॉर्मल कर्व/बेल कर्व या वेगवेगळ्या नावाने ओळखतो, हे जरी कार्ल फ्रेडरिश गाऊस यांच्या नावाने ओळखले जात असले तरी त्याचे श्रेय डी मॉईव्र यांनाही देण्यात येते. सांख्यिकी जगतात ‘central limit theorem’ ही खूप ठिकाणी उपयोगिली जाते त्याची एक प्राथमिक केस म्हणून De Moivre – Laplace Theorem पाहिली जाते. गमतीची गोष्ट म्हणजे न्यूटन आणि अब्राहम डी मॉईव्र यांची मैत्री होती. न्यूटन यांच्या binomial theorem चा विस्तार डी मॉईव्र यांनी multinomial theorem मध्ये केला. वर उल्लेखलेल्या गणिती समस्येच्या सुधारणेसाठी डी मॉईव्र यांच्या संशोधनाचा उपयोग झाला तो बराचसा न्यूटन यांच्या binomial theorem वर आधारित आहे. त्यामुळे वरची समस्या सोडवण्यात न्यूटन यांचे प्रत्यक्ष नसले तरी अप्रत्यक्ष योगदान आहेच, हे विसरून चालणार नाही.

 

जाता जाता – आठव्या हेनरीच्या काळात त्याच्या उधळ्या स्वभावामुळे राजकीय तिजोरीला जोरदार आर्थिक फटका बसला होता. ती तूट भरून काढण्यासाठी त्याने नवीन नाण्यांमधील चांदीचे प्रमाण कमी करण्याचे टांकसाळीला आदेश दिले. हे चांदीचे प्रमाण इतके कमी होते की ती सगळी नाणी जवळपास तांब्याच्या नाण्याला चांदीचा मुलामा असण्याइतपत सुमार प्रतीची राहिली. या नाण्यांचा दर्जा इतका कमी होता, की नाण्यावरच्या आठव्या हेनरीच्या चित्रात त्याच्या टोकदार नाकावरचा चांदीचा पत्रा झिजून त्याचे नाक तांब्याचे दिसू लागले. या सगळ्या प्रकरणात त्याला ‘तांब्याच्या नाकाचा म्हातारा’ (Old Copper Nose!) असे हेटाळणीयुक्त संबोधन चिकटले!

-मेघना

(सर्व प्रकाशचित्रे आंतरजालावरून साभार)

संदर्भ:

https://en.wikipedia.org/wiki/Trial_of_the_Pyx

https://www.youtube.com/watch?v=UZQfA2cRHJs

https://www.americanscientist.org/article/the-most-dangerous-equation

https://www.jstor.org/stable/2286206?seq=1

https://londonhistorians.wordpress.com/2012/02/07/trial-of-the-pyx/

युद्धस्य कथा रम्या : जर्मन टॅंक प्रॉब्लेम

बुद्धिबळाची स्पर्धा कधी पाहिली आहे तुम्ही? हे जे प्रथितयश खेळाडू असतात त्यांची काय खासियत असते? कशा प्रकारे तयारी करतात एखाद्या गेमची? समजा ‘अ’ या स्पर्धकाला ‘ब’ ला हरवायचे असेल तर त्याने गेम ची तयारी कशी करायला हवी? नुसते बुद्धिबळच नाही, दुसरं काहीतरी उदाहरण घेऊ – मुष्टीयुद्ध असो, क्रिकेट असो, किंवा फुटबॉल असो वा टेनिस असो, (खरंतर सगळ्याच स्पर्धांमध्ये) जिंकण्यासाठी काय आवश्यक आहे बरं? स्वतःचा खेळ उंचावायचा असेल तर स्वतःची ताकद वाढवणे, खेळासंबंधी कौशल्य आत्मसात करणे हे अत्यंत महत्त्वाचे आहे. पण फक्त स्वतःचे कौशल्य वाढवणे पुरेसे आहे का? या सगळ्यांमध्ये कौशल्याला चातुर्याची जोड हवी! म्हणजे नक्की काय? तर आपल्या क्षमतेचा नीट अंदाज तर हवाच, पण त्याचबरोबर शत्रू पक्षाच्या कौशल्याचा, ताकदीचा आडाखाही बांधता येणं आवश्यक आहे. हा आडाखा जितका अचूक तितके ‘अ’ चे ‘ब’ विरुद्ध जिंकण्याचे डावपेच यशस्वी होण्याची शक्यता अधिक. कुठलीही रणनीती आखताना शत्रूपक्षाच्या क्षमतेचा अंदाज हा महत्त्वाचा घटक ठरतोच. शिवाजी महाराजांना मूठभर मावळ्यांना हाताशी धरून मुघलांना वेळोवेळी शह देता आला याचे महत्त्वाचे कारण त्यांचं शत्रूला आजमावण्याचे कौशल्यच, नाही का?

दुसऱ्या जागतिक महायुद्धाच्या दरम्यान मित्रराष्ट्रांच्या फळीला जर्मनीच्या युद्धक्षमतेचा अचूक अंदाज बांधायला संख्याशास्त्राचा उपयोग झाला, त्याचीच ही गोष्ट. पहिल्या आणि दुसऱ्या जागतिक महायुद्धांमध्ये लढाऊ वाहनांमध्ये रणगाड्यांची महत्त्वाची भूमिका होती. पहिल्या महायुद्धाच्या तुलनेत दुसऱ्या महायुद्धाच्या वेळी तांत्रिकदृष्ट्या रणगाडे अधिक प्रगत झाले होते. विशिष्ट, विविध कामांसाठी वेगवेगळे लढाऊ रणगाडे विकसित झाले होते. मित्रराष्ट्रांना त्यांच्याकडच्या रणगाड्यांच्या तांत्रिक बाजूविषयी खात्री होती, परंतु नवीन पद्धतीने विकसित केलेल्या जर्मन पॅंथर (Panther or Panzer V or mark V) रणगाड्यांच्या विषयी मात्र त्यांना अंदाज घेणं जरूरी होतं. त्यांना अशी कुणकुण लागली होती की जर्मनांच्या बाजूने विशिष्ट प्रकारच्या पॅंथर रणगाड्याचा खूप जास्त वापर होतो आहे. एकूण किती पॅंथर रणगाड्यांचं जर्मनाच्या बाजूला उत्पादन होत असावं याची संदिग्धता मित्रराष्ट्रांना होती. आता, याचा अंदाज कसा बरं बांधायचा? गुप्तहेर संघटनांकडून मिळालेली माहिती, गुप्त संदेश डीकोड, आणि ताब्यात घेतलेल्या शत्रूपक्षाच्या सैनिकांची कसून चौकशी, या सगळ्यातून मिळालेल्या माहितीप्रमाणे पॅंथर रणगाड्यांच्या उत्पादनाचा अंदाज निघाला, की जून १९४२ ते सप्टेंबर १९४४ या कालावधीमध्ये दरमहा १४०० या विशिष्ट रणगाड्यांची निर्मिती झाली असावी. आता, हा आकडा बराच जास्त वाटत होता. हा आकडा जर खरा असेल, तर जर्मनांचं सामर्थ्य खूप जास्त असून Operation Neptune वर त्याचा गंभीर परिणाम होऊ शकला असता. मग यातली सत्यासत्यता पडताळून पाहणार तरी कशी? शत्रुपक्षाकडे एकूण किती रणगाडे असू शकतील हे जाणून घ्यायला काहीतरी दुसरा मार्ग शोधायला हवाच होता.

(https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/61/Bundesarchiv_Bild_183-H26258%2C_Panzer_V_%22Panther%22.jpg)

मित्रराष्ट्रांच्या सुदैवाने त्यांना युद्ध चालू असताना जर्मनीच्या या काही रणगाड्यांना ताब्यात घ्यायला आणि काही उध्वस्त करायला यश आलं होतं. त्यांच्या असं लक्षात आलं, की त्या प्रत्येक रणगाड्यावर एक विशिष्ट प्रकारचा अनुक्रमांक (सिरियल नंबर) आहे. एव्हढेच नव्हे, तर प्रत्येक रणगाड्याला असलेला गीयर बॉक्स, इंजिन, chassis यांना प्रत्येकी विशिष्ट क्रमांक आहे. प्रत्येक चाकालाही त्याच्या त्याच्या साच्यानुसार विशिष्ट अनुक्रमांक आहे. यापैकी इंजिन नंबर आणि chassis नंबर जरा क्लिष्ट असले, तरी गीयरबॉक्स वरचा अनुक्रमांक हा अतिशय उपयोगी पडला. तसेच चाकाच्या माहितीचा उपयोग फेरपडताळणीसाठी केला गेला. ते कसं आजमावता येऊ शकेल यासाठी एक प्रयोगादाखल उदाहरण घेऊयात.



असं मानू की १,२,३,.. N हे त्या सगळ्या रणगाड्यांचे क्रमांक दर्शवतात. आपले उद्दिष्ट हा ‘N’ जास्तीत जास्त किती असेल याचा अंदाज बांधण्यात आहे. समजा, यातले ४ रणगाडे ताब्यात घेण्यात यश आले, आणि त्यांचे अनुक्रमांक १७, ३२, ५६, ८१ असे आहेत. या sample size ला ‘k’ मानू. म्हणजेच इथे k = ४. Sample मधल्या सगळ्यात मोठ्या अनुक्रमांकाला ‘m’ नाव देऊ. इथे m = ८१. हे लक्षात घ्यायला हवं, की ८१ क्रमांक नमुन्यात समाविष्ट असल्याने N हा ८१ पेक्षा लहान असू शकत नाही. (इथे एक महत्त्वाचे गृहीतक गरजेचे ठरते की या नमुन्यामध्ये (sample) समाविष्ट होणारे क्रमांक १ ते N या श्रेणीत uniformly distributed (समसमान वितरित) असायला हवेत. असं नसेल तर काय होईल, तर नमुन्यात समाविष्ट संख्या एक विशिष्ट ठिकाणी clustered असतील, ज्यामुळे संभाव्य कमाल संख्येचा शोध बिकट होईल). इथे आपली समस्या sample maximum (इथे ८१) आणि population maximum (N) यांच्यातले अंतर अचूकरित्या मोजणे ही ठरते.

या माहितीचा एकंदरीत विचार करता सांख्यिकी पद्धतीने ‘N’ चा आकडा खालील सूत्राने काढता येतो.

N = (m-१)(k+१)/k = m + (m/k) – १ ......................... (टीप १ पहा)

N = ८१ + (८१/४) – १ = १००.२५

वरच्या उदाहरणाचा विचार करता साधारण १०० रणगाड्यांचे उत्पादन झाले असं अंदाज बांधता येतो.

आता तुम्ही म्हणाल हा अंदाज तरी बरोबर कशावरून? तर या सूत्राची उपयोगिता पाहण्यासाठी दुसरा एक प्रयोग करू शकतो. आपण एक कमाल आकडा निश्चित करू. समजा एकूण संख्या (N) ही २५० आहे. समजा त्यातले पाच क्रमांक (without replacement) नमुन्यादाखल घेतले. १०, ४३, ११५, १२३, २२७. म्हणजे N = २५० m= २२७ k= ५

N(estimated) = २२७ + (२२७/५) - १ = २७१.४

फक्त ५ नमूना संख्यांच्या आधारावर हा आडाखा २५० च्या बऱ्यापैकी जवळ जाणारा आहे. (टीप २ पहा)


तर... वरील सूत्र वापरुन मित्रराष्ट्रांचा आडाखा असा होता की साधारणपणे दरमहा सरासरी कमाल २४६ रणगाड्यांची निर्मिती होत असावी. युद्ध संपल्यानंतर जेव्हा विविध दस्तावेज अभ्यासण्यात आले तेव्हा समोर आलेला उत्पादनाचा आकडा दरमहा सरासरी २४५ होता!

उदाहरणादाखल काही विशिष्ट महिन्यांच्या उत्पादनाची माहिती खालीलप्रमाणे:

Month	Statistical estimate	Intelligence estimate	German records
June 1940	169	1,000	122
June 1941	244	1,550	271
August 1942	327	1,550	342

मित्रराष्ट्रांनी शत्रूची ताकद आजमावायला हातातल्या माहितीचा संख्याशास्त्राच्या मदतीने चातुर्याने उपयोग करून घेतला. गुप्तहेर यंत्रणा आदी पारंपरिक पद्धतीपेक्षा सांख्यिकी अनुमान या बाबतीत वरचढ ठरले. रणगाड्यांच्या उत्पादनाचे अनुमान लावण्याची ही समस्या सांख्यिकी जगतात ‘जर्मन टॅंक प्रॉब्लेम’ या नावाने प्रसिद्ध आहे. या अनुमान पद्धतीचा उपयोग केवळ रणगाड्यांच्या उत्पादनापुरताच सीमित राहिला नाही, तर जर्मनांचे इतर क्षेत्रातले बळ, त्यांच्याकडच्या विविध कारखान्यांची संख्या, सप्लाय चेन आणि इतर अनेक उत्पादनांमधले बदल टिपायला मित्रराष्ट्रांनी करून घेतला! ‘युद्ध’ म्हटल्यावर आपल्या डोळ्यासमोर रणांगणावर लढणारे सैनिक, बंदुका, तोफा, विमाने, बॉम्ब हेच डोळ्यासमोर येतात, परंतु हे वरचे उदाहरण पाहता युद्धात या सर्वांच्या जोडीला कूटनीती यशस्वी होण्याकरिता संख्याशास्त्राने महत्त्वाची भूमिका बजावलेली दिसते. 

टीप १ :सूत्र १ हे संख्याशास्त्रातल्या निकषानुसार Minimum Variance Unbiased Estimator (MVUE) हा गुणधर्म दाखवते. हे काय असतं, तर आता समजा ‘N’ ही संख्या शोधण्यासाठी सूत्र १ बरोबर आणखी काही सूत्रांची तुलना केली, तर सूत्र १ हे ‘N’ चा ही संख्या शोधण्यासाठी सूत्र १ बरोबर आणखी काही सूत्रांची तुलना केली, तर सूत्र १ हे ‘N’ त्यातल्या त्यात अचूक अंदाज सुचवते.

टीप २ : इथे हे लक्षात घेणं जरूरी आहे, की आपल्या मनात आधीच कमाल २५० हा आकडा असल्यामुळे त्याच्या तुलनेत २७१ हा अंदाज जास्त वाटू शकतो. परंतु २५० माहीत नसणे हे नीट लक्षात घेतलं तर हा अंदाज फारसा विपरीत नाही. जर मूळ N हा प्रचंड मोठा आकडा असेल तर m निश्चित बदलेलच, परंतु इथेही मग sample साइजमध्ये एखाद्या जास्तीच्या संख्येने निष्कर्षाच्या गुणवत्तेत जास्त चांगला फरक पडू शकतो.

संदर्भ:
https://en.wikipedia.org/wiki/German_tank_problem 

https://en.wikipedia.org/wiki/Panther_tank

https://www.albert.io/blog/german-tank-problem-explained-ap-statistics-review/
https://www.theguardian.com/world/2006/jul/20/secondworldwar.tvandradio

चहाबाजांचे भांडण आणि संख्याशास्त्राचा लाभ

असं म्हणतात, की जगामध्ये सर्वाधिक प्यायल्या जाणाऱ्या पेयांमध्ये चहाचा नंबर पाण्याच्या खालोखाल लागतो. चहाचे प्रकार आणि करण्याची पद्धत यामध्ये जगभरात प्रचंड विविधता आहे. आपल्यापैकीही बऱ्याच जणांना आपण करतो तीच पद्धत योग्य असे वाटते, आणि त्याच प्रकारचा चहा सहसा आपण पिण्यास प्राधान्यही देतो. दूध घालून केलेल्या चहामध्येही चहा, पाणी, दूध आणि साखरेचे प्रमाण, यांचे गुणोत्तर प्रत्येकाच्या आवडीप्रमाणे वेगवेगळे असू शकते, नव्हे, असतेच म्हणायला हवं खरं तर. मात्र याच चहामुळे, किंबहुना चहा बनवण्याच्या विशिष्ट पद्धतीमुळे घडलेला एक किस्सा संख्याशास्त्राच्या ‘Design of Experiments’ या शाखेमध्ये अत्यंत मूलभूत असे बदल घडण्याची नांदी ठरला असे म्हणण्यास वावगे ठरणार नाही.

ही सुमारे १९२० च्या दशकातली गोष्ट. झालं असं, की एकदा सर रोनाल्ड फिशर, ज्यांना आधुनिक संख्याशास्त्राचा प्रणेता मानलं जातं, त्यांची डॉ. म्युरीएल ब्रिस्टॉल नावाच्या एका जीवशास्त्रज्ञाबरोबर कुठल्यातरी कामासंदर्भात चर्चा सुरू होती. ही चर्चा साधारण दुपारी चहाच्या वेळेला चालली होती. साहजिकच तेव्हा सर रोनाल्ड फिशर यांनी डॉ. ब्रिस्टॉलना मोठ्या अदबीने चहा देऊ केला. मात्र तेव्हा एक गंमत झाली. फिशर यांनी चहाच्या कपात प्रथम दूध ओतलं आणि नंतर चहा ओतला. ब्रिस्टॉल कसल्या खट! त्यांनी तो चहा प्यायचा चक्क नाकारला. फिशरना थोडा धक्काच बसला, त्यांनी विचारलं, काय झालं म्हणून. तेव्हा ब्रिस्टॉलनी उत्तर दिलं, की त्यांना कायम प्रथम कपामध्ये चहा आणि नंतर त्यात दूध घालून पिण्याची सवय आहे, आणि त्यांना अगदी तसाच चहा लागतो. झालं! फिशरना आला राग.

खरं तर चहा आधी की दूध आधी (कोंबडी आधी की अंड आधी च्या चालीवर वाटतं नाही?) हा वाद त्यावेळी ब्रिटनमध्ये तसा अगदी जुना होता, अगदी तिथे चहाचं आगमन जेव्हा १७व्या शतकात झालं अगदी तेव्हापासून! चहा करावा कसा हा मुद्दा खरं तर आजतागायत तसाच विवादास्पद आहे, अगदी त्यावरूनच तुंबळ युद्ध भडकण्याची शक्यताच म्हणा ना हवं तर. असो.

तर फिशर पडले विज्ञानवादी. त्यांचं असं मत पडलं, की हा मुद्दा अगदीच निरर्थक आहे; अ मध्ये ब मिसळलं काय किंवा ब मध्ये अ काय, शेवटी जो परिणाम उत्पन्न होणार तो (thermodynamically) सारखाच असणार ना! (बहुधा त्यावेळी याचं रसायनशास्त्र-दृष्ट्या फार संशोधन झालं नसावं; सध्या मात्र याबद्दल काहीशी माहिती उपलब्ध आहे). त्यांच्या मते चहामधलं दुधाचं प्रमाण आणि तापमान शेवटी सारखंच राहणार. त्यांनी तोच मुद्दा पकडून ठेवला, ते म्हणाले चहा आणि दुधाच्या क्रमाने काहीही फरक पडणार नाही.  

ब्रिस्टॉल मात्र आपल्या मुद्द्यावर ठाम होत्या. त्या म्हणाल्या, ‘चवीत फरक पडतो, वाटलं तर मी सिद्ध करायला तयार आहे. मला वेगळ्या पद्धतीने बनवलेला चहा निश्चितच ओळखू येईल चवीतल्या फरकामुळे.’ फिशरचा तरीही त्यांच्यावर विश्वास बसत नव्हता. त्यांना ही गोष्ट अशक्यच वाटत होती. आता या वादाला काही अंत राहिला नसता, कारण दोघेही हटवादी! कोणीच मुद्दा सोडायला तयार नव्हतं. तेव्हा त्यांच्या या भांडणामध्ये विल्यम रोच नावाचे रसायनशास्त्रज्ञ धावून आले. ते म्हणाले, आपण असं करुयात, आपण ब्रिस्टॉलची परीक्षाच घेऊ. दोन्ही पद्धतीनी चहा बनवून ब्रिस्टॉलना प्यायला लावू  आणि बघूयात त्यांना ओळखता येतोय का ते! फिशर आणि ब्रिस्टॉल दोघांनाही ही कल्पना पसंत पडली.

त्याकाळी मुळातच फिशर कृषीविषयक डेटा विश्लेषक म्हणून कार्यरत होते. यासंदर्भात त्यांनी विविघ पिकांचं उत्पन्न, त्या उत्पन्नातील तुलनात्मक फरक (variation) याविषयी सखोल अभ्यास करून विविध शोधनिबंध प्रसिद्ध केले होते. Design of Experiments (किंवा प्रयोग-आखणीचं शास्त्र) याचा फिशरचा नुसता अभ्यासच नव्हता, तर त्यामध्ये त्यांनी नवीन संख्याशास्त्रीय कसोट्यांची (ANOVA) बहुमोल भरही घातली होती.

ब्रिस्टॉलच्या दाव्याची अचूक शहानिशा करण्यासाठी त्यांनी त्याच धर्तीवर प्रयोगाची आखणी केली. Replication, randomisation, blinding ही Design of Experiments मधली काही प्रमुख तत्वे. फिशरनी काय केलं, की दोन्ही प्रकारचा चहा – आधी चहा मग दूध असे चार आणि आधी दूध मग चहा असे चार – असे एकूण आठ कप तयार केले आणि ते अनिश्चित अनुक्रमाने (randomly) ब्रिस्टॉलना चाखू दिले. आश्चर्याची गोष्ट अशी की दोन्ही चहातला फरक ब्रिस्टॉलनी आठही वेळा अचूक ओळखला. झाल्या प्रकारामुळे फिशर फारच बुचकळ्यात पडले. त्यांचे आडाखे चुकले होते. ब्रिस्टॉलचा विजय हा फिशर साठी जरा अपमानास्पद होताच, पण या प्रकाराने त्यांना सखोल विचार करायला भाग पाडलं. प्रथम त्यांना वाटलं, की केवळ सुदैवाने (by luck) तर ब्रिस्टॉल यशस्वी झाल्या नसतील काय? फक्त योगायोगाने आठही वेळा अचूक ओळखण्याची शक्यता काय? त्यांनी असं घडण्याची शक्यता पडताळण्यासाठी चक्क एक गणित मांडलं.

समजा असं गृहीत धरूयात, की चहा पिणाऱ्याला (इथे ब्रिस्टॉलना) चवीतला फरक कळत नाही. आता आठापैकी चार कप हे विशिष्ट पद्धतीचे होते – आधी चहा आणि मग दूध. हे चारही कप अचूक ओळखणे म्हणजेच उर्वरित आधी दूध व नंतर चहा घालून तयार केलेले चार ओळखण्यासारखेच आहे. चारपैकी जितके जास्त कप ओळखता येतील तितका वरील गृहितकाला छेद देणारा पुरावा सबळ होत जाईल.  आता प्रथम हे ओळखता येण्याचे शक्य तितके सगळे combinations विचारात घ्यायला हवे. वरील गृहीतक योग्य आहे असे मानल्यास हे किती पद्धतीने शक्य आहे? चारपैकी एकही बरोबर न ओळखणे, एकदाच बरोबर ओळखणे, २,३ किंवा चारही अचूक ओळखणे असे प्रकार लक्षात घेतले तर Combination च्या सूत्रानुसार ही संख्या ८!/(४!*४!) = ७० इतकी येते. (इथे ! हे factorial संदर्भात वाचवे). हे समजून घेण्यासाठी खाली दिलेली मांडणी उपयुक्त ठरेल.

बरोबर ओळखलेल्या कपांची संख्या	विविध प्रकारची मांडणी	एकूण मांडणी संख्या
०	0000	१ x १ =१
१	000X 00X0 0X00 X000	४ x ४=१६
२	00XX 0X0X 0XX0 X0X0 XX00 X00X	६ x ६=३६
३	0XXX XX0X X0XX 0XXX	४ x ४=१६
४	XXXX	१ x १ =१
	एकूण	७०

सर्वात महत्त्वाचं म्हणजे वरील गृहीतक बरोबर असल्यास चारही कप केवळ आणि केवळ योगायोगाने (by chance) बरोबर ओळखण्याची शक्यता १/७० (६.२५%) इतकी कमी आहे! म्हणजे ब्रिस्टॉलना दोन्ही प्रकारच्या चहाच्या चवीत फरक करता येत असावा तर.

फिशर या प्रयोगाचा विचार करताना इथेच थांबले नाहीत. त्यांनी यांचा अधिकाधिक खोलात जाऊन विचार केला. इथे हे लक्षात घ्यायला हवं की वर मांडलेले गृहीतक खोडून काढण्यासाठी काहीतरी सुस्पष्ट सांख्यिकी निकष लावणे गरजेचे आहे. त्यांच्या असं लक्षात आलं की कप ओळखताना समजा एखादी चूक झाली तर? मग अशा किती चुका केल्या तरी या प्रयोगातून मूळ गृहितकाचे खंडन करण्यासाठी पुरेसा खात्रीलायक निष्कर्ष काढत येऊ शकेल? ‘ब्रिस्टॉलना चवीतला फरक कळत नाही’ हे गृहीतक खोडण्यासाठी ‘ब्रिस्टॉलनी चारही कप बरोबर ओळखणे गरजेचे आहे’ की ‘ब्रिस्टॉलनी चारपैकी किमान तीन कप बरोबर ओळखणे पुरेसे आहे’ या दोन पैकी कोणती कसोटी किमान गरजेची आहे? वरच्या मांडणीचा विचार केला, तर चवीतला फरक कळत नसताना चार पैकी चारही बरोबर ओळखणे यांची शक्यता १/७० (६.२५%) आहे. समजा चारपैकी एकच कप ओळखायचा चुकला तर ही शक्यता १/७० वरुन १६/७० इतकी येते. म्हणजे किमान तीन कप ओळखण्याची शक्यता (१६+१)/७०, जवळपास २४%. याचा अर्थ, चवीतला फरक कळत नसतानाही किमान तीन कप बरोबर ओळखण्याची शक्यता बरीच जास्त (२४%) आहे. आता, ही शक्यता जितकी कमी तितका फरक न कळण्याच्या गृहितकाविरुद्ध जाणार पुरावा अधिक सबळ. या केसमध्ये, २४% शक्यता ही खूप मोठी असल्याने ‘फरक कळत नाही’ यांचे खंडन करण्यासाठी हा पुरावा कमी खात्रीशीर ठरतो. म्हणजे एक विशिष्ट प्रकारचे ४ कप असल्यास, चारही अचूक ओळखणे सिद्धतेच्या दृष्टीने जास्त आवश्यक आहे. 

त्यांनी मग थोडा आणखी विचार केला. समजा आठ कप (चार अधिक चार) ऐवजी बारा कप (सहा अधिक सहा) घेतले असते तर? तर ही कसोटी आधीपेक्षा जास्त कठीण आणि म्हणूनच अधिक काटेकोर झाली असती. चवीतला फरक कळत नसताना सहाही कप अचूक ओळखण्याची शक्यता १/९२४ इतकी कमी आहे. सहापैकी किमान पाच बरोबर ओळखण्याची शक्यता ३७/९२४ (४%). (याची ताळेबंद मांडणीही वरच्या मांडणीच्या अनुषंगाने करता येईल). या परिस्थितीमध्ये एक आडाखा चुकला तरीही ही चूक तितकीशी हानिकारक नाही. याचा अर्थ, जितका sample size जास्त, तितकी ही कसोटी उत्तमोत्तम साबीत होऊ शकते. फिशरच्या लक्षात आले की ही कसोटी विविध क्लिष्ट प्रॉब्लेम्समध्ये समर्पक ठरू शकते. याच कसोटीला आता फिशरची अचूक चाचणी (Fisher’s Exact Test) म्हणून ओळखले जाते.

पुढील काही काळात फिशरने या प्रयोगाच्या आखणीच्या अनुषंगाने अधिकाधिक पैलूंचा बारकाईने अभ्यास केला. १९२० च्या दशकात ही जेव्हा घडली, त्याआधी वैज्ञानिक प्रयोगांची सांख्यिकीमापन दृष्टीने आखणी, डेटा विश्लेषणाच्या पद्धती, यामध्ये कमी सुस्पष्टता होती. फिशरच्या संशोधनाने या सर्व पद्धतींमध्ये मोलाची भर पडली. चहावरून सुरू झालेल्या एक छोट्याशा पैजेचे संख्याशास्त्रात इतके महत्त्वाचे योगदान असेल हे कोणाला सांगून तरी खरे वाटेल काय?